二叉树
引言
顺序表和链表的时间复杂度由给定条件不同从而会得出不同的时间复杂度结果，对于程序设计时并不总是最好用的存储方式。二叉树是一种更加稳定的数据存储方式，其复杂度总是能表示为一个固定的形式。以下来分析二叉树增删改查操作做的时间复杂度。
设有如下数据需要进行二叉树形式存储：
二叉树存储
分析
首先对二叉树进行基本分析：
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二叉树每层最大容纳量为2^(n-1)个；
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前n行共可存储1+2+4+8+···+2^(n-1)=2^n -1个数据；
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二叉树节点分布规律是：左节点<父节点<右节点；
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由第一层延某条路径查询到最后一层的某个数据共需要查询log2（2^n）=n次；
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当删除某个节点时，需要将左子树最右节点或右子树最左节点移动至被删除节点处，且被移动节点的左或右节点移至被移动节点的位置。
由上述规律归纳二叉树的时间复杂度如下（以下设总结点数为n）：
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增：循环遍历每个节点，比较各节点的值，直到找到相应位置，时间复杂度为log2n，2为底数。
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查：循环遍历每个节点，比较各节点的值，直到找到相应位置，时间复杂度为log2n。
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改：循环遍历每个节点，比较各节点的值，直到找到相应位置，将此节点数据值改为相应值，时间复杂度为log2n。
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删：循环遍历每个节点，比较各节点的值，直到找到相应位置，将左子树最右节点或右子树最左节点移动至被删除节点处，且被移动节点的左或右节点移至被移动节点的位置，时间复杂度为log2n。
代码
增删改查的代码分别如下：
1.定义二叉树：
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public class StudentNode {
public int num;
public String name;
public StudentNode left, right, pre;
StudentNode() {
pre = left = right = null;
}
StudentNode(int num, String name) {
this.num = num;
this.name = name;
pre = left = right = null;
}
@Override
public String toString() {
return "StudentNode [num=" + num + ", name=" + name + ", left=" + left + ", right=" + right + ", pre=" + pre
+ "]";
}
}
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2.增：构建包含100个不等随机数的数组，并将数据插入二叉树：
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public static int[] randomCommon(int min, int max, int n) {
if (n > (max - min + 1) || max < min) {
return null;
}
int[] result = new int[n];
int count = 0;
while (count < n) {
int num = (int) (Math.random() * (max - min)) + min;
boolean flag = true;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (num == result[j]) {
flag = false;
break;
}
}
if (flag) {
result[count] = num;
count++;
}
}
return result;
}
public static void insert(int num, String name, StudentNode node) {
if (num > node.num) {
StudentNode temp = new StudentNode(num, "我是第" + num);
if (node.right != null) {
insert(num, name, node.right);
} else {
temp.pre = node;
node.right = temp;
}
} else {
StudentNode temp = new StudentNode(num, "我是第" + num);
if (node.left != null) {
insert(num, name, node.left);
} else {
temp.pre = node;
node.left = temp;
}
}
}
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3.查：
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public static StudentNode find(StudentNode root, int num) {
StudentNode point = new StudentNode();
//StudentNode copy=new StudentNode();
point = root;
while (point != null) {
if (num == point.num) {
return point;
} else if (num > point.num) {
if (point.right == null) {
System.out.println("该学生不存在");
return null;
} else
point = point.right;
} else {
if (point.left == null) {
System.out.println("该学生不存在");
return null;
} else
point = point.left;
}
}
return null;
}
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4.改：
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public static String change(StudentNode root, int num, String name) {
StudentNode point = new StudentNode();
point = root;
String copy;
while (point != null) {
if (num == point.num) {
copy = point.name;
point.name = name;
return "该学生原名为" + copy + ",现在是" + name;
} else if (num > point.num) {
if (point.right == null) {
return "该学生不存在";
} else
point = point.right;
} else {
if (point.left == null) {
return "该学生不存在";
} else
point = point.left;
}
}
return null;
}
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5.删：
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public static String delete(StudentNode root, int num) {
StudentNode find = find(root, num);
StudentNode point = new StudentNode();
point = find;
if (find != null) {
int target_num, find_num;
String target_name, find_name;
find_num = find.num;
find_name = find.name;
if (find.left != null) {
point = find.left;
while (point.right != null) {
point = point.right;
}
target_num = point.num;
target_name = point.name;
if (point.left != null) {
point.pre.right = point.left;
}
find.num = target_num;
find.name = target_name;
return find_name + "已删除" + "现在由" + find.name + "取代";
} else if (find.right != null) {
point = find.right;
while (point.left != null) {
point = point.left;
}
target_num = point.num;
target_name = point.name;
if (point.right != null) {
point.pre.left = point.right;
}
find.num = target_num;
find.name = target_name;
return find_name + "已删除" + "现在由" + find.name + "取代";
} else {
if (find == root) {
find = root = null;
return find_name + "根节点已删除";
} else if (find.num < find.pre.num) {
find.pre.left = null;
return find_name + "已删除";
} else {
find.pre.right = null;
return find_name + "已删除";
}
}
} else {
System.out.println("删除失败！");
return null;
}
}
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6.main函数：
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public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
//增加
int[] arr = randomCommon(1, 101, 100);
StudentNode root = new StudentNode(1, "我是第" + 1);
root.pre = null;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
insert(arr[i], "我是" + arr[i], root);
}
//查询
StudentNode find = find(root, 53);
System.out.println(find.name);
//修改
String change = change(root, 53, "小李");
System.out.println(change);
//删除
String delete = delete(root, 14);
System.out.println(delete);
}
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二叉树是一种存储数据比较稳定的方法，其增删改查的时间复杂度均为log2n，但其原理实现较线性表更难理解，需要花更多精力去消化吸收。关键在于理解二叉树的构造形式，牢记二叉树的特点。
B（B-）树，B+树，B树和B+树的区别，B树和B+树的优点
M阶B树（B-树）特点
- 一种二叉搜索树。
- 除根节点外的所有非叶节点至少含有（M/2（向上取整）-1）个关键字，每个节点最多有M-1个关键字，并且以升序排列。所以M阶B树的除根节点外的所有非叶节点的关键字取值区间为[M/2-1(向上取整),M-1]。
- 每个节点最多有M-1个关键字。
B树示例：4阶B树
下面是往B树中依次插入
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的演示动画：
M阶B+数特点
- 有n棵子树的非叶子结点中含有n个关键字（b树是n-1个），这些关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点（b树是每个关键字都保存数据）。
- 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接（叶子节点组成一个链表）。
- 所有的非叶子结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树中的最大（或最小）关键字。
- 通常在b+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。
- 同一个数字会在不同节点中重复出现，根节点的最大元素就是b+树的最大元素。
B+树示例
B树与B+树的区别
- B树每个节点都存储数据，所有节点组成这棵树。B+树只有叶子节点存储数据（B+数中有两个头指针：一个指向根节点，另一个指向关键字最小的叶节点），叶子节点包含了这棵树的所有数据，所有的叶子结点使用链表相连，便于区间查找和遍历，所有非叶节点起到索引作用。
- B树中叶节点包含的关键字和其他节点包含的关键字是不重复的，B+树的索引项只包含对应子树的最大关键字和指向该子树的指针，不含有该关键字对应记录的存储地址。
- B树中每个节点（非根节点）关键字个数的范围为m/2(向上取整)-1,m-1，并且具有n个关键字的节点包含（n+1）棵子树。B+树中每个节点（非根节点）关键字个数的范围为m/2(向上取整),m，具有n个关键字的节点包含（n）棵子树。
- B+树中查找，无论查找是否成功，每次都是一条从根节点到叶节点的路径。
B树的优点
1.B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。
B+树的优点
- 所有的叶子结点使用链表相连，便于区间查找和遍历。B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。
- b+树的中间节点不保存数据，能容纳更多节点元素。
B树和B+树的共同优点
考虑磁盘IO的影响，它相对于内存来说是很慢的。数据库索引是存储在磁盘上的，当数据量大时，就不能把整个索引全部加载到内存了，只能逐一加载每一个磁盘页（对应索引树的节点）。所以我们要减少IO次数，对于树来说，IO次数就是树的高度，而“矮胖”就是b树的特征之一，m的大小取决于磁盘页的大小。
